√3 ও 1.75 দুইটি বাস্তব সংখ্যা
ক. মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা কাকে বলে?
মূলদ সংখ্যা:
মূলদ সংখ্যা হচ্ছে সেই সকল বাস্তব সংখ্যা যাদের p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে p এবং q উভয় পূর্ণ সংখ্যা এবং q≠0।
- যেমন: 3/1=3, 11/2=5.5, 5/3=1.666
- সকল পূর্ণ সংখ্যা মূলদ সংখ্যা। যেমন: 1, 2, 3, 11
- এগুলি দশমিক আকারেও প্রকাশ করা যায় এবং তা হয় সসীম দশমিক (যেমন: 1.29, 6.89, 9.234) অথবা পৌনঃপুনিক দশমিক (recurrent).
অমূলদ সংখ্যা:
যে বাস্তব সংখ্যাকে দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করা যায় না তাকে অমূলদ সংখ্যা বলে। অর্থাৎ, যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, তাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- যে সংখ্যা মূলদ নয়, তা অমূলদ সংখ্যা।
- অমূলদ সংখ্যাকে দশমিক আকারে প্রকাশ করলে পৌনঃপুনিকতা দেখা যায় না।
- পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যেকোনো সংখ্যার বর্গমূল **অমূলদ সংখ্যা**।
- যেমন: √2=1.414213…, √3=1.732…
খ. প্রদত্ত বাস্তব সংখ্যার মাঝে দুটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয়
এখানে √3=1.73205… এবং 1.75 এর মধ্যে দুটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে।
- ধরি, a=1.7331234… এবং b=1.734123…
- এগুলি অসীম সংখ্যা এবং p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না।
সুতরাং, 1.7331234… এবং 1.734123… দুটি **অমূলদ সংখ্যা**।
গ. কোনটি অমূলদ সংখ্যা যুক্তি দ্বারা প্রমাণ কর
এখানে, নির্ণয় করতে হবে √3 ও 1.75 এর মধ্যে কোনটি মূলদ ও কোনটি অমূলদ।
আমরা জানি:
- 1 < 3 < 4
- √1 < √3 < √4
- 1 < √3 < 2
এখন, যদি √3 একটি মূলদ সংখ্যা হয় তবে:
√3 = p/q (যেখানে p এবং q পরস্পরের সহমৌলিক পূর্ণ সংখ্যা)
উভয় পক্ষকে বর্গ করলে:
- √3² = (p/q)²
- 3 = p²/q²
- 3q = p²/q
এটি সম্ভব নয়, তাই √3 **অমূলদ সংখ্যা**।
অন্যদিকে, 1.75 = 175/100 = 7/4, যা p/q আকারে প্রকাশ করা যায়। তাই **1.75 মূলদ সংখ্যা**।
ফলাফল:
√3 হলো **অমূলদ সংখ্যা** এবং 1.75 হলো **মূলদ সংখ্যা**।